Mükemmel ve Yarı Mükemmel Sayılar

          Kendisinden küçük tüm pozitif bölenlerinin toplamına eşit olan (pozitif) tam sayıya mükemmel sayı denir.

Örneğin;

28'in kendisinden küçük pozitif bölenleri 1, 2, 4, 7 ve 14 tür.

28=1+2+4+7+14

En küçük mükemmel sayı 6'dır.

 6=1+2+3 

          Mükemmel sayıları bulmak için bir formül yoktur. Ama Euclid'in p ve 2^p−1 sayıları asal olmak şartıyla

 2^p−1(2^p−1)

formülüyle bilinen mükemmel sayılar bulunabilir. Bu formülle elde edilen mükemmel sayıların hepsinin çift sayı olacağını fark etmişsinizdir. Ama herhangi bir "tek mükemmel sayı var mı?" sorusunun cevabı henüz kanıtlanmamıştır. Hiç olmadığı veya çok az oldukları kabul edilmektedir.

p = 2:   2¹(2²−1) = 6

p = 3:   2²(2³−1) = 28

p = 5:   2⁴(2⁵−1) = 496

p = 7:   2⁶(2⁷−1) = 8128

Merak edenler için 👉 ilk 40 çift mükemmel sayı

Tek mükemmel sayı vardır diyorsanız onu bulunduğu yerden çıkarmalı, yok diyorsanız da olmadığını kanıtlamalısınız.

          Peki mükemmel sayıların dışında pozitif bölen bakımından zengin ve fakir sayılara da bir isim verilmiş midir? Elbette.

• Bir sayının kendisinden küçük tüm pozitif bölenlerinin toplamı o sayıdan küçük ise bu sayıya eksik (deficient) sayı,
• Bir sayının kendisinden küçük tüm pozitif bölenlerinin toplamı o sayıdan büyük ise bu sayıya artık (abundant) sayı denir.

          2'nin her pozitif kuvveti (2, 4, 8,...) eksik sayı, 12 (1+2+3+4+6=16 ve 12<16) artık sayıdır.

          Ayrıca kendisinden küçük pozitif bölenlerinden en büyük üç tanesinin toplamına eşit olan (pozitif) tam sayıya yarı mükemmel sayı denir.

Örneğin;

18'in kendisinden küçük pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6 ve 9'dur.

18=3+6+9    (En küçük yarı mükemmel sayı 18'dir.)

Üç basamaklı en küçük yarı mükemmel sayı 102'dir.

102=17+34+51