Üstel Fonksiyon ile Logaritmik Fonksiyon Arasındaki İlişki

          Üstel fonksiyon, a^x şeklindedir, burada taban a pozitif değere sahip bir sabittir ve üst x değişkendir. Çoğunlukla kullanılan e^x veya exp(x) sembolleriyle gösterilen şeklidir. Burada e, yaklaşık değeri 2,718 olan Euler sayısını temsil eder, x ise gerçel ya da karmaşık bir değişkendir. Kuvvet fonksiyonunun tersine, değişken tabanda değil üstte olduğu için bu fonksiyona üstel denir.

          Logaritma, üstel işlevlerin tersi olan bir matematiksel işlevdir. Örneğin 1000'in 10 tabanına göre logaritması 3'tür çünkü 1000, 10'un 3. kuvvetidir,1000 = 10 × 10 × 10 = 10³.
Daha genel bir ifadeyle

${\displaystyle x=b^{y}\Leftrightarrow log_{b}(x)=y}$

          Tabanın 10 olması durumunda işlev, onluk logaritma ya da genel logaritma olarak adlandırılır. Onluk logaritmanın fen ve mühendislikte pek çok kullanım alanı vardır. Taban e sayısı olursa buna doğal logaritma denir. Doğal logaritma, soyut matematikte çok sık kullanılır. Bir diğer logaritma şekli de ikilik logaritmadır, bilgisayar biliminde önemli bir yere sahiptir.

          Logaritma 17. yüzyılın başında John Napier tarafından hesaplamaları kolaylaştırmak için oluşturuldu. Denizciler, bilim insanları, mühendisler ve daha hızlı hesap yapmak isteyen kişiler tarafından hızlıca benimsenen logaritma, hesap cetvelleri ve logaritma tabloları aracılığıyla kullanılabiliyordu. Uzun zaman alan çok basamaklı çarpma işlemleri logaritmanın şu özelliği sayesinde oldukça kolaylaştı:

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).\,}$

          Logaritmanın bugünkü yazım şekli 18. yüzyıla dayanır. Leonhard Euler logaritmanın üstel işlevlerle olan ilişkisini keşfetmiş ve bugünkü yazımı oluşturmuştur.

          Üstel Fonksiyon ile Logaritmik Fonksiyon birbirinin tersidir. Bunu fonksiyonların grafiklerinin y=x doğrusuna göre simetrik olduklarını bir matematik yazılımı kullanarak gösterelim:

      Aşağıda GeoGebra ile oluşturulmuş grafikte a sürgüsünü hareket ettirerek fonksiyonlardaki değişimleri görebilirsiniz. Büyük halini görüntülemek için tıklayınız.